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電子電路知識(shí):為什么電路中的阻抗要引入復(fù)數(shù)來(lái)表示?不理解電路、信號(hào)處理中的“虛部”怎么辦?看完秒懂
初學(xué)電子學(xué),腦瓜里面很多疑問(wèn)
為什么電容、電感的阻抗表達(dá)式要用虛數(shù)?
為什么在傅立葉變換中要有虛數(shù)?
為什么在濾波器的傳遞函數(shù)中會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)?
最初遇到“虛數(shù)”的概念是在高中數(shù)學(xué)中,我大概將它看成一維(實(shí)數(shù))到二維的擴(kuò)展。書(shū)上也就是畫(huà)成兩個(gè)坐標(biāo)軸來(lái)表示復(fù)數(shù)嘛。那么,為什么只有一個(gè)虛數(shù)單位i,沒(méi)有再定義一個(gè)更高級(jí)的復(fù)數(shù)來(lái)描述三維空間呢?從來(lái)沒(méi)想過(guò)。
大學(xué)學(xué)了高等代數(shù),補(bǔ)充了復(fù)數(shù)域,多項(xiàng)式這些知識(shí)后大概知道為什么要發(fā)明出復(fù)數(shù)來(lái)補(bǔ)充實(shí)數(shù)的不足了。至于維數(shù)的擴(kuò)展,也不是復(fù)數(shù)的用途。再后來(lái),學(xué)了傅立葉變換之后,我對(duì)為什么要用復(fù)數(shù)來(lái)表示信號(hào)仍然沒(méi)有理解。數(shù)學(xué)上這沒(méi)有問(wèn)題,數(shù)學(xué)是對(duì)世界的一種描述,是抽象出來(lái)的,又如直線、空間等等概念也是抽象出來(lái)的。但現(xiàn)實(shí)世界里面的物理量,電流電壓都是實(shí)際存在的,哪來(lái)的虛部呢(別扯到量子物理,不在電子工程討論范圍)?更后來(lái)修《小波分析》課的時(shí)候,有個(gè)同學(xué)在課間問(wèn)了這個(gè)問(wèn)題,老師說(shuō)的是“采兩個(gè)信號(hào)”的意思。可是,畢竟復(fù)信號(hào)和二維信號(hào)不是一個(gè)處理方法呀。
自學(xué)了些電路基礎(chǔ),我才發(fā)現(xiàn)在電路里面用虛數(shù)是提供了很大的方便。如果不用虛數(shù),就沒(méi)法對(duì)電容、電感使用歐姆定律了。
借用了虛數(shù),將電感、電容中的電抗成分(就是和純電阻不一樣的那個(gè)交流特性)計(jì)成歐姆單位
然后,歐姆定律、戴維南定理等等都可以照樣用了,甚是方便,只不過(guò)把電壓、電流也要換成復(fù)數(shù)了。
什么,電壓能有個(gè)虛部?示波器能看到這個(gè)虛部嗎?
反過(guò)來(lái)看,若不引入虛數(shù)的話(huà),怎么處理電路中的電感和電容呢?那必然是要使用微分方程、積分方程來(lái)表達(dá)電壓和電流的關(guān)系。的確不方便啊,求解穩(wěn)態(tài)電路這樣就費(fèi)太多工夫了。借助拉普拉斯變換工具,看輸入和輸出關(guān)系的話(huà),就又出來(lái)虛數(shù)了。
交流電是隨時(shí)間變化的,若用正弦函數(shù)來(lái)表達(dá),u=Asin(ωt+θ)就包含了幅度、頻率和相位三個(gè)量。電容和電感會(huì)改變交流電的相位,因此在分析頻率特性的時(shí)候,僅用幅度描述是不夠的。虛數(shù)因?yàn)榭梢员硎緸榉岛拖嘟堑男问剑瑒偤每梢钥坍?huà)交流電輸入和輸出的關(guān)系。
說(shuō)到底,這還是一個(gè)數(shù)學(xué)工具在解釋世界。正弦波就正弦波嘛,一定要虛數(shù)么?Euler公式
看起來(lái)很漂亮,但是對(duì)交流信號(hào),那個(gè)憑空整出來(lái)的虛部又是什么意思?電場(chǎng)能是實(shí)部,磁場(chǎng)能是虛部?不對(duì)。
畢業(yè)數(shù)年以后,我對(duì)這個(gè)疑問(wèn)的解釋是如下這樣:
世界有兩種最基本的運(yùn)動(dòng)形式:一種是勻速直線運(yùn)動(dòng),一種是勻速圓周運(yùn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng))。轉(zhuǎn)動(dòng)就有了半徑、周期。如果認(rèn)為勻速直線運(yùn)動(dòng)是一種恒定狀態(tài),那么勻速轉(zhuǎn)動(dòng)也屬于恒定的——周而復(fù)始,你只要知道了它的無(wú)限短的一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng),就能知道它的過(guò)去和未來(lái)。
也就是說(shuō),一個(gè)單一頻率的信號(hào)是可以用一個(gè)恒定轉(zhuǎn)速的圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)代表的。
在平面上看這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng),它的軌跡是一個(gè)圓。
如果增加一個(gè)時(shí)間維度,想象一下,看起來(lái)是什么樣子?
一圈一圈的螺線,對(duì)了吧,沿著時(shí)間軸方向的。
再側(cè)過(guò)來(lái)一些看,更清楚一點(diǎn):
再換個(gè)角度:
當(dāng)垂直于時(shí)間軸去“看”這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候,看到什么呢?
正弦型啊!換個(gè)角度也可以看到是這樣的:
注意,正弦函數(shù)的相位發(fā)生了變化。
當(dāng)我們觀察到一個(gè)正弦形的信號(hào)(電壓、電流,也可以是其它的物理量),所觀察到的認(rèn)為是它的實(shí)部。假設(shè)(用腦補(bǔ)一下)這個(gè)信號(hào)其實(shí)是一個(gè)在轉(zhuǎn)動(dòng)的信號(hào),它還有一個(gè)對(duì)應(yīng)的虛部看不見(jiàn)。正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)(黑盒子)出來(lái)之后,除了轉(zhuǎn)動(dòng)半徑(幅度)可能發(fā)生改變外,轉(zhuǎn)角也會(huì)發(fā)生偏移,于是被我們觀察到的波形也產(chǎn)生了相位差。隨著我們觀察角度的不同,初始相位也可以不同,但是輸入和輸出的相位差是穩(wěn)定的。
總結(jié):能夠被觀察到的信號(hào)是實(shí)的,然而在補(bǔ)充了一個(gè)不存在的虛部之后,信號(hào)從來(lái)回振蕩的形式變成了更簡(jiǎn)單更基本的圓周運(yùn)動(dòng)。復(fù)雜的信號(hào)也可以分解為很多乃至無(wú)窮多個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的疊加,我們總是從某個(gè)固定的角度去觀察的。在描述兩個(gè)同頻的圓周運(yùn)動(dòng)的相對(duì)關(guān)系(比如輸入和輸出)時(shí),使用虛數(shù)可以更方便地表達(dá)幅度和相角的差異。
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